Comment calculer les changements de pourcentage composés

Un Soroban pour un comptage rapide

David Wilson

Qu'est-ce qu'un changement de pourcentage composé?

Nous sommes tous conscients des changements en pourcentage. Qu'il s'agisse de 25% de réduction sur le coût d'un nouveau téléviseur dans les ventes du Black Friday ou d'une augmentation de 5% des tarifs de train (encore une fois), changer un montant par un pourcentage est une compétence quotidienne. Mais qu'en est-il des changements de pourcentage composés?

Imaginez que vous mettez 100 £ à la banque dans un compte d'épargne avec un taux d'intérêt fixe de 4% payé annuellement. À la fin de l'année (en supposant que vous n'ayez pas touché au dépôt d'origine), votre argent aura augmenté de 4%, ce qui vous donnera 4 £ supplémentaires et un total de 104 £ sur le compte.

Si vous laissez tout cet argent dans le compte pendant une autre année, que se passe-t-il alors? Recevez-vous 4 £ supplémentaires et un total de 108 £ à la banque? Non. Pour la deuxième année, non seulement vous obtenez 4% sur vos 100 £ d'origine, qui sont toujours en banque, mais vous obtenez également 4% sur les 4 £ supplémentaires que vous avez gagnés en intérêts l'année précédente. 4% de 104 £ équivaut à 4,16 £, ce qui signifie qu'à la fin de la deuxième année, vous aurez 104 £ + 4,16 £ = 108,16 £ sur votre compte. En supposant que vous ne touchez pas à l'argent à un moment donné et que le taux d'intérêt de 4% reste constant, vous gagnerez plus d'argent chaque année à mesure que le montant de votre compte augmentera. C'est un intérêt composé.

Remarque: si vous venez de recevoir les 4 £ chaque année, cela s'appelle un intérêt simple.

Comment calculer le pourcentage de croissance composé

Voyons comment calculer le pourcentage de croissance composé (également appelé intérêt composé lorsqu'il s'agit d'exemples comme le nôtre).

Comme auparavant, vous commencez avec 100 £ sur le compte bancaire et un taux d'intérêt fixe de 4%. Nous pourrions trouver 4% en divisant les 100 £ par 100 pour obtenir 1%, puis en multipliant ce chiffre par 4. C'est génial pendant un an, mais si nous voulions savoir combien nous allons avoir dans le compte 5 ou 10 ans plus tard, cela prendra beaucoup de temps.

Au lieu de cela, nous allons utiliser quelque chose appelé la méthode du multiplicateur. Si nous appelons notre dépôt d'origine à 100%, après une augmentation de 4%, nous allons finir avec 104%. Pour calculer 104% d'un montant, nous convertissons d'abord le pourcentage en nombre décimal en le divisant par 100, ce qui nous donne 104/100 = 1,04. Multiplier par ce 1,04 augmentera un montant de 4% en une seule fois.

Pour notre exemple, nous avons 100 £ pour commencer, donc après un an, nous avons 100 £ x 1,04 = 104 £. Après une autre année, nous avons 104 £ x 1,04 = 108,16 £, puis 108,16 £ x 1,04 = 112,49 £ et ainsi de suite. Cependant, nous pouvons l'accélérer encore plus.

Nous multiplions par le même multiplicateur, 1,04, une fois pour chaque année qui passe, donc si nous voulons trouver le total plusieurs années plus tard, nous pouvons multiplier par 1,04 autant de fois en utilisant des puissances.

Par exemple, après 5 ans, nous aurons 100 £ x 1,04 x 1,04 x 1,04 x 1,04 x 1,04, ce qui équivaut à 100 £ x 1,04 ⁵ = 121,67 £.

Après 25 ans, nous aurions 100 £ x 1,04 ²⁵ = 266,58 £. Imaginez combien de temps cela aurait pris si nous avions calculé 4% pour chaque année séparément!

Un autre exemple de croissance en pourcentage composé

Essayons un autre exemple de croissance en pourcentage composé.

La population d'une ville augmente de 12% chaque année. Si elle commence à 30 000 personnes, et en supposant que cette augmentation reste constante, quelle sera la population dans 6 ans? Et dans 20 ans?

Donc, nous commençons avec 100% et voulons une augmentation de 12%, donc nous allons nous retrouver avec 112%, soit 1,12 en décimal.

Par conséquent, après 6 ans, la population sera de 30 000 x 1,12 ⁶ = 59 215.

Après 20 ans, il sera de 30 000 x 1,12 ²⁰ = 289 389.

Qu'en est-il des diminutions de pourcentage composé?

Une diminution du pourcentage composé (également connue sous le nom de décomposition composée) se produit lorsqu'un montant diminue plusieurs fois du même pourcentage. La méthode pour trouver cela est très similaire à celle d'une augmentation.

Supposons que vous ayez acheté une voiture pour 20 000 £ et que chaque année, la valeur de la voiture diminue de 15%. Nous voulons savoir combien vaudra la voiture dans cinq ans.

Nous pourrions trouver 15% de 20 000 £, soustraire cela, puis trouver 15% du nouveau montant et ainsi de suite, mais encore une fois, cela va prendre un certain temps. Au lieu de cela, examinons l'utilisation de multiplicateurs comme nous l'avons fait ci-dessus.

Si nous commençons à 100%, une réduction de 15% nous laissera 85%. Donc, au lieu de penser à cela comme une diminution de 15% chaque année, nous pouvons plutôt penser à 85%. 85% en tant que décimal est 85/100 = 0,85, donc pour trouver 85%, nous multiplions par 0,85. Pour faire cela plusieurs fois, nous utilisons des pouvoirs comme nous l'avons fait ci-dessus.

Donc, pour revenir à notre exemple de voiture, après 5 ans, la valeur sera de 20000 £ x 0,85 ⁵ = 8 874,11 £.

Après 10 ans, la valeur sera de 20000 £ x 0,85 ¹⁰ = 3 937,49 £.

Regardez la vidéo ci-dessous pour d'autres exemples.

Intérêt composé sur la chaîne YouTube DoingMaths

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