Un guide détaillé des variables grecques du trading d'options

Les Grecs

Les Grecs - delta, gamma, thêta, vega et rho - sont cinq variables qui aident à identifier les risques d'une position d'option.

Les risques auxquels les investisseurs sont confrontés dans les options ne sont pas unidimensionnels. Afin de faire face à l'évolution des conditions du marché, un investisseur doit être conscient de l'ampleur de ces changements. Pour voir si les changements sont grands ou petits, s'ils créent un risque majeur ou mineur, la théorie des options et les modèles d'évaluation des options fournissent aux investisseurs des variables identifiant les caractéristiques de risque de leur position d'options. Ces variables sont appelées les Grecs. Nous surveillons cinq Grecs: delta, gamma, thêta, vega et rho.

Parce que les Grecs sont des dérivés de la formule Black & Scholes, nous commencerons par expliquer un peu plus à ce sujet.

Noir et Scholes

La formule Black and Scholes, parfois connue sous le nom de formule Black, Scholes et Merton, est l'outil standard du marché pour les options de tarification. Cette formule valorise l'option en fonction du cours actuel de l'action S ₀, du temps jusqu'à l'échéance de l'option T, de son exercice X, de la volatilité σ et du taux d'intérêt r:

call = S ⁰ N (d ₁) - Xe ^-rT N (d ₂)

put = Xe ^-rT N (-d ₂) - S ₀ N (-d ₁) avec

où N (x) est la fonction de distribution normale cumulée pour la distribution normale standard, c'est-à-dire la probabilité qu'une variable aléatoire ~ N (0,1) (avec une distribution normale standard) soit inférieure à x.

Avant de discuter de la formule, énoncons les hypothèses sous-jacentes. La formule de Black et Scholes suppose:

Les retours sont IID (indépendants et répartis de manière identique) avec une distribution normale.
La volatilité future est connue et constante.
Le taux d'intérêt futur est connu, constant et le même pour les emprunts et les prêts.
La trajectoire des actions est continue et un trading continu est possible.
Les frais de transaction sont nuls.

Pour développer la théorie, nous supposons que toutes ces hypothèses sont valables. Cette formule est la norme du marché car elle est extrêmement robuste en ce qui concerne les violations de ses hypothèses.

Delta

Le premier grec qui sera discuté est le delta. Fondamentalement, le delta est la sensibilité de la valeur théorique d'une option à une variation du prix du contrat sous-jacent. Plus simple, le delta est la variation de la valeur d'une option lorsque la valeur sous-jacente augmente de 1 dollar. Par exemple:

Δ _call = ∂c / ∂S = N (d ₁) et Δ _put = ∂p / ∂S = N (d ₁) - 1,

avec N (d ₁) comme dans la formule BS.

La valeur d'une option d'achat augmente lorsque le cours de l'action augmente, de sorte que le delta d'une option d'achat est positif. À l'inverse, la valeur d'une option de vente diminue lorsque le cours de l'action augmente, de sorte que le delta de l'option de vente est négatif.

On peut noter que N (x) est une fonction de densité de probabilité, donc elle prend valeur en. Le delta d'un appel est alors toujours dans et le delta d'un mis en. Étant donné que le niveau sous-jacent est généralement de 100 actions, le delta de l'option est multiplié par 100. Par exemple, une option avec un delta de 0,25 est considérée comme un delta 25. Plus le delta est élevé, plus la variation de la valeur de l'option sera similaire. être au stock sous-jacent. La valeur d'une option avec un delta 100 évoluera exactement au même rythme que l'action sous-jacente. Notez également que l'opération dérivée est linéaire afin que nous puissions calculer le delta de chaque option et les additionner pour obtenir le delta de l'ensemble du portefeuille (il peut alors être en dehors bien sûr).

Lorsqu'une option se rapproche de l'expiration, son delta change, car la probabilité d'expiration dans ou hors de la monnaie change et la distribution normale se rétrécit et se concentre autour de la moyenne. À mesure qu'une option se rapproche de l'expiration, les options dans la monnaie évolueront vers le delta 100 et les options hors du cours se déplaceront vers le delta 0. Les options à la monnaie, en revanche, resteront autour du delta 50.

Lorsque l'action sous-jacente change de prix, le delta change également. Ceci est à prévoir car d ₁ est fonction du cours de l'action.

Delta d'un appel

Une interprétation pratique du delta est le ratio de couverture: le nombre d'actions qui devraient être achetées ou vendues pour neutraliser le risque directionnel d'une option. De la formule BS, nous pouvons voir une autre interprétation. En gros, on peut dire que le delta d'une option est sa probabilité d'expiration dans la monnaie. (Pour un put nous prendrons la valeur absolue). Cette approximation ne fonctionne que pour les options européennes.

En résumé, il existe trois interprétations du delta:

Le changement de valeur d'une option si le sous-jacent augmente de 1 dollar.
Le ratio de couverture: le nombre d'actions à acheter ou à vendre pour neutraliser le risque directionnel de la position.
La chance que l'option soit dans le cours à l'expiration

→ Appels OTM: le delta tend vers 0 à l'approche de l'expiration.

→ Appels ITM: le delta tend vers 100 avec le temps.

Delta d'un put par rapport au prix sous-jacent

Delta contre volatilité

Au fur et à mesure que la volatilité augmente (diminue), le delta d'un call va vers (loin de) 0,50 et le delta d'un put vers (loin de) -0,50. Donc, si la volatilité augmente (diminue), le delta d'une option monétaire diminue (augmente). Dans le cas d'une option hors de l'argent, c'est exactement le contraire.

Delta en fonction du temps

À mesure que le temps décroît, le delta d'un appel s'éloigne de 0,50 et le delta d'une mise de -0,50. Au fil du temps, le delta d'un dans l'appel d'argent se déplace vers 1 et le delta d'un sur l'argent vers 0.

Gamma

Gamma est le dérivé du delta en fonction du cours de l'action. Puisque le delta est le dérivé de la valeur de l'option en fonction de l'action sous-jacente, gamma est le changement de delta lorsque le cours de l'action augmente de 1 dollar. Il s'écrit comme suit:

Γ = δ ₂ c / δS ² = N '(d ₁) / S ₀ σ √T

avec d ₁ comme dans la formule BS et N 'la première dérivée de la fonction de densité cumulative gaussienne, c'est-à-dire la densité gaussienne usuelle:

Gamma par rapport au cours de l'action, Gamma par rapport au temps

On dit souvent que le gamma atteint sa valeur maximale lorsqu'une option est ATM. Ceci est correct en première approximation, cependant, le maximum réel est atteint lorsque le cours de l'action est juste en dessous du prix d'exercice. Cet effet est illustré dans la partie gauche de la figure ci-dessus pour un stock négocié à 100 dollars. Compte tenu d' une grève X, σ volatilité, un taux r, et un temps d'expiration T, la valeur du stock gamma donnant un maximum de S _{max Γ} = Xe ^{- (r + 3σ ^ 2/2) T}.

La courbe gamma d'un call et d'un put est identique. Ceci est cohérent avec ce que nous avons dit à propos des appels et met en général ainsi que du gamma en particulier jusqu'à présent.

À mesure que le délai d'expiration diminue, le gamma et le thêta des options au cours augmentent. Juste avant l'expiration, ces variables peuvent devenir extrêmement importantes.

Gamma en fonction du temps

Comme le montre la figure ci-dessus, le graphique se rétrécit mais la surface totale sous le graphique reste inchangée. En conséquence, le graphique obtient un sommet beaucoup plus élevé. Le sommet supérieur symbolise l'augmentation du gamma et du thêta à mesure que le délai d'expiration diminue.

En raison du comportement des appels ITM, ATM et OTM, nous voyons que la courbe delta se raidira autour de la grève à l'approche de l'expiration. Par conséquent, le gamma augmentera pour l'option ATM avec le temps. Ceci n'est cependant pas vrai pour les options OTM et ITM.

Le gamma est un paramètre de risque important car il détermine combien d'argent nous pouvons gagner ou perdre sur notre portefeuille delta neutre lorsque le cours de l'action change. Dans l'exemple suivant, nous évaluerons le P / L d'une position d'option en conséquence du mouvement du sous-jacent. Nous supposerons un gamma constant de 2,7, de sorte que le delta change de 2,7 par mouvement du dollar du sous-jacent.

Supposons que nous achetions le 80 call 1000 fois à 5,52 avec un cours de l'action de 79 dollars. Pour être neutre en termes de delta, nous devrions vendre 51 100 actions. Le cours de l'action évolue comme suit:



t =	Prix de l'action
0	79
1	84
2	76
3	79

A t = 1 et t = 2, je réajuste ma couverture afin d'être delta neutre. A t = 3, je ferme ma position.

Trois façons de calculer le changement de valeur d'une position

Voici trois façons de calculer la variation de valeur de notre position, la première en utilisant les flux de trésorerie, la seconde en utilisant delta et la troisième en utilisant le gamma.

1. Calcul des bénéfices à l'aide des flux de trésorerie

Nous examinons d'abord les flux de trésorerie, comme indiqué dans le tableau ci-dessous. La deuxième colonne montre les flux de trésorerie liés à l'appel et la troisième liée à ma position de stock. La dernière ligne résume tout:

Donc, finalement, nous réalisons un bénéfice de 132 300. Si nous sommes des options longues et que nous avons donc une position longue gamma, nous devons acheter des actions si le cours de l'action diminue et vendre des actions si le cours de l'action augmente (acheter bas, vendre haut), donc nous réalisons toujours un profit si l'action bouge. Vérifiez par vous-même que cela est valable pour les appels et les put.

2. Calcul du profit à l'aide de Delta

Nous considérons maintenant une deuxième manière de calculer les bénéfices. Les métiers sont les mêmes, juste le calcul des bénéfices diffère. Avec cette méthode, nous considérons simultanément l'option et la position du stock. Nous avons le stock comme couverture pour l'option, alors considérons simplement la position delta totale. Nous commençons par un delta neutre. Puis le mouvement des actions, nous gagnons des deltas. (Nous calculons les deltas que nous gagnons en utilisant la différence entre deux deltas donnés pour les valeurs de stock de départ et de fin données. Pour obtenir le delta moyen pendant le mouvement, nous prenons cette valeur divisée par deux). Le portefeuille gagne en valeur en fonction de ses deltas comme expliqué ci-dessous.

Dans ce cas, nous utilisons la méthode du delta moyen. Autrement dit, nous:

Calculez la position delta moyenne pendant le mouvement de stock.
Multipliez cela par l'intervalle pour calculer le profit.

Au temps t, nous nous couvrons donc nous achetons / vendons des actions afin que le delta redevienne neutre.

Regardons cela plus attentivement:

À t = 0, le stock se négocie à 79, nous commençons une position delta neutre, c'est-à-dire que nous avons 51.100 actions à découvert
À t = 1, l'action se négocie à 84. Le delta de la position de l'option est de 64,6 * 1000 (à partir d'options) -51100 (à partir d'actions). Entre t = 0 et t = 1, ma position delta est passée de 0 à 13500. Mon delta moyen pour le déménagement était alors (13 500 + 0) / 2 = 6750 (6,75 par appel). Pour calculer le PnL de ma position, je multiplie ces deltas par le montant du mouvement de stock: 6570 * 5 = 33 750 dollars. Pour réaliser ce profit, j'ai besoin de vendre des actions pour être à nouveau delta neutre.
À t = 2, l'action se négocie à 76. Le delta de ma position d'option est 43,0 * 1000 et le delta de ma position d'actions est -64600…

Exemple de calcul du profit à l'aide de Gamma.

3. Calcul des bénéfices à l'aide du gamma

Dans l'exemple ci-dessus, nous avons calculé la position delta moyenne en prenant la moyenne de la position delta de départ et de la position delta finale. Ceci peut également être réalisé en utilisant le gamma, car le gamma définit le changement du delta par dollar.

Clarifions comment:

À t = 0, le stock se négocie à 79, delta neutre, le gamma est de 2700.
À t = 1, le stock se négocie à 84. Le stock a évolué de 5, donc ma nouvelle position delta est de 5 * 2 700. Au début du mouvement, mon delta était de 0, donc mon delta moyen est de 5 * 2700/2. L'action a évolué de 5, de sorte que le portefeuille a gagné 5 * delta moyen = 5 * 5 * 2700/2. Le portefeuille est couvert de sorte que le delta soit à nouveau de 0. Nous appelons cela «scalper le gamma». Une position longue gamma vous permet d'acheter bas et de vendre haut.
À t = 2, le stock se négocie à 76. C'est un mouvement de 8 dollars, ma nouvelle position delta est le 8 * 2700…

On peut utiliser la formule générique suivante si l'on part d'un portefeuille delta neutre:

P / L = pricemove ^ 2 * gamma / 2